PERSAMAAN FUNGSI KUADRAT (bag.6)

2. Definit Positif dan Definit Negatif
Pada kegiatan 3 bagian 1 Anda telah mempelajari cara menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = ax + bx + c.

Beberapa sketsa grafik fungsi kuadrat yang mungkin jika ditinjau dari nilai a dan diskriminan D = b - 4ac telah Anda ketahui pada Gambar 3-8. Simaklah kembali Gambar 3-8a dan Gambar 3-8d. Selanjutnya perhatikanlah penjelasan di bawah ini.

- -

Untuk Gambar 3-8a Pada Gambar 3-8a, parabola terbuka ke atas dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. dikatakan parabola selalu berada di atas sumbu x untuk setiap nilai x R. Hal ini terjadi apabila nilai a>0 dan D<0. src="http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_64/images/kuadrat.JPG" height="11" width="7"> + bx + c disebut definit positif. Dengan demikian, syarat definit positif adalah a>0 dan D<0.>Untuk Gambar 3-8d Pada Gambar 3-8d, parabola terbuka ke bawah dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. dikatakan parabola selalu berada di bawah sumbu x untuk setiap nilai x R. Hal ini terjadi apabila nilai a<0 src="http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_64/images/kuadrat.JPG" height="11" width="7"> + bx + c <0 src="http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_64/images/elemen.JPG" height="9" width="9">R, atau bentuk ax + bx + c disebut definit negatif. Dengan demikian, syarat definit negatif adalah a<0>

Agar Anda memahami dan terampil menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan definit positif dan definit negatif, perhatikanlah beberapa contoh di bawah ini.

Contoh 1:
Selidiki apakah fungsi kuadrat dengan persamaan f(x) = x + x + 5 termasuk definit positif atau definit negatif atau tidah kedua-duanya?
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = x + x + 5, berarti a= 1, b = 1, dan c = 5.
Maka diskriminan D = b - 4ac = (1) - 4(1)(5) = 1-20 = -19.
Karena a = 1 dan D = -19 ini berarti a>0 dan D<0, src="http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_64/images/kuadrat.JPG" height="11" width="7"> + x + 5 termasuk definit positif.

Mudah bukan? Baiklah, selanjutnya perhatikan contoh 2 di bawah ini.

Contoh 2:
Periksa apakah fungsi kuadrat dengan persamaam f(x) = -x - 4x – 6 termasuk definit positif atau definit negatif atau tidak kedua-duanya?
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = -x - 4x - 6, berarti a = -1, b= -4, dan c = -6.
Maka diskriminan D = b - 4ac = (-4) - 4(-1)(-6) = 16-24 = -8.
Karena a = -1 dan D = -8 ini berarti a<0 src="http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_64/images/kuadrat.JPG" height="11" width="7"> - 4x - 6 termasuk definit negatif.

Sudah pahamkah Anda setelah memcermati contoh 1 dan 2 di atas? Baiklah, untuk lebih pahamnya perhatikan contoh 3 berikut.

Contoh 3:
Periksa apakah fungsi kuadrat dengan persamaam f(x) = -2x + 4x termasuk definit positif atau definit negatif atau tidak kedua-duanya?
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = -2x + 4x, berarti a= -2, b = 4, dan c = 0.
Maka diskriminan D = b - 4ac = (4) - 4(-2)(0) = 16 + 0 = 16.
Karena a = -1 dan D = 16 ini berarti a<0>0, sehingga fungsi kuadrat
f(x) = -2x + 4x tidak definit positif dan tidak definit negatif.

Bagaimana, tidak sulit bukan? Anda sudah paham? Bagus! Apabila belum paham, perhatikan contoh 4 di bawah ini.

Contoh 4:
Tentukan batas-batas nilai p, agar fungsi f(x) = x - 4x + m definit positif!
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = x - 4x + m, berarti a= 1, b= -4, c = m
Syarat agar fungsi kuadrat f definit adalah a>0 dan D<0.

(i)	a>0, syarat ini sudah dipenuhi karena a = 1
(ii)	D<0, src="http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_64/images/kuadrat.JPG" height="11" width="7"> - 4ac (-4) - 4(1)(m) 16 – 4m 16 16 16/4 4 m <> 4

Karena syarat (i) sudah dipenuhi, maka berdasarkan syarat (ii) batas-batas nilai m adalah m>4.

Setelah mempelajari contoh-contoh di atas, apakah Anda sudah paham? Untuk menambah pemahaman Anda, cermati contoh 5 di bawah ini.

Contoh 5:
Tentukan batas nilai k, agar fungsi f(x) = (k-1)x - 2kx + (k-2) definit negatif!
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = (k-1)x - 2kx + (k-2), berarti a = (k-1), b= -2k, dan c = (k-2).
Syarat agar fungsi kuadrat f definit negatif adalah a<0>

(i)	a<0,> <>
(ii)	D<0, src="http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_64/images/kuadrat.JPG" height="11" width="7"> - 4ac (-2k) - 4(k-1)(k-2) 4k - 4(k-2k-k+2) 4k - 4(k - 3k + 2) 4k - 4k + 12k - 8 12k – 8 12k 12k k k <>

Dengan menyatukan syarat (i) dan (ii) atau mencari irisannya, maka batas nilai k seperti diperlihatkan pada Gambar 3-16 di bawah ini.

Gambar 3-16

Berdasarkan Gambar 3-16 batas nilai k yang memenuhi adalah k <
Jadi, agar fungsi kuadrat f(x) = (k-1)x - 2kx + (k-2) definit negatif adalah k <

Setelah menyimak beberapa contoh di atas, apakah Anda paham? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan di bawah ini.

1. 2. 3.

Selidiki masing-masing fungsi kuadrat di bawah ini, apakah definitif positif, definitif negatif atau tidak kedua-duanya. a). f(x) = 2x + 3x + 4. b). f(x) = -x + 2x – 5. c). f(x) = x - x – 2. Tentukan batas-batas nilai m, agar fungsi kuadrat (f(x) = -x - 8x + m definit negatif! Tentukan batas-batas nilai k, agar fungsi kuadrat: f(x) = (k + 1)x + (2k+1)x + (k+2) definit positif.

Sebelum Anda selesai mengerjakan soal-soal di atas, jangan membaca jawabannya terlebih dulu. Apabila sudah selesai mengerjakannya, seperti inikah jawaban Anda?

1.	a. b. c.	Fungsi kuadrat f(x) = 2x + 3x + 4, berarti a = 2, b = 3, dan c = 4. Maka diskriminan D = b - 4ac = (3) - 4(2)(4) = 9-32 = -23. Karena a = 2 dan D = -23 ini, berarti a>0 dan D<0 src="http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_64/images/kuadrat.JPG" height="11" width="7"> + 3x + 4 termasuk definit positif. Fungsi kuadrat f(x) = -x + 2x – 5, berarti a = -1, b= 2, dan c = -5. Maka diskriminan D = b - 4ac = (2) - 4(-1)(-5) = 4-20 = -16. Karena a = -1 dan D = -16, ini berarti a<0 src="http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_64/images/kuadrat.JPG" height="11" width="7"> + 2x - 5 termasuk definit negatif. Fungsi kuadrat f(x) = x - x - 2, berarti a = 1, b = -1, dan c = -2. Maka diskriminan D = b - 4ac = (-1) - 4(1)(-2) = 1+8 = 9. Karena a=1 dan D = 9, ini berarti a>0 dan D>0, sehingga fungsi kuadrat f(x) = x - x - 2 tidak termasuk definit positif maupun negatif.
2.	Fungsi kuadrat f(x) = -x - 8x + m, berarti a = -1, b = -8, dan c = m. Syarat agar fungsi kuadrat f definit adalah a<0> (i) a<0, a =""> (ii) D<0, src="http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_64/images/kuadrat.JPG" height="11" width="7"> - 4ac (-8) - 4(-1)(m) 64 + 4m 4m 4m m m <> Karena syarat (i) sudah dipenuhi, maka berdasarkan syarat (ii) batas-batas nilai m adalah m <-16.
3.	Fungsi kuadrat f(x) = (k+1)x + (2k+1)x + (k+2), berarti a= (k+1), b = (ak+1), dan c = (k+2). Syarat agar fungsi f definit positif adalah a>0 dan D<0.> (i) a<0,> > 0 > 0 > 0 - 1 > -1 (ii) D<0, src="http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_64/images/kuadrat.JPG" height="11" width="7"> - 4ac (2k+1) - 4(k+1)(k+2) 4k+4k+1 - 4(k+2k+k+2) 4k+4k+1 - 4(k+3k+2) 4k+4k+1 - 4k-12k-8 -8k-7 -7 -7 8k k <> -7 > -7/8 Dengan menyatukan syarat (i) dan (ii) atau mencari irisanya, maka batas nilai k seperti diperlihatkan pada Gambar 3-17 di bawah ini. Gambar 3-17 Berdasarkan Gambar 3-17 batas nilai k yang memenuhi adalah k> Jadi, agar fungsi kuadrat f(x) = (k+1)x + (2k+1)x + (k+2) definit positif adalah k > Bagaimana, tidak sulit bukan? Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas? Apabila ya, bagus! Berarti Anda benar. Jika Anda mengalami kesulitan diskusikan dengan teman-teman atau tanyakan kepada guru bina pada saat tatap muka. Bagi Anda yang menjawab belum benar segeralah samakan pekerjaan Anda dengan jawaban di atas.

3. Kaitan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat
Pada kegiatan 3 bagian 1b, telah Anda pelajari cara menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum. Salah satu langkahnya adalah menentukan titik potong grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c dengan sumbu x. Pada prinsipnya, titik potong grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c dapat diperoleh dengan cara menentukan nilai-nilai x yang mengakibatkan nilai y = 0. Hal ini berarti proses menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0. Dengan demikian, kondisi grafik dan titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x dapat dipelajari dengan mengkaji dan menentukan sifat-sifat dari persamaan kuadrat. Sifat inilah yang menunjukkan kaitan antara persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat.

Apabila ditinjau berdasarkan kedudukan grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax + bx + c terhadap sumbu x secara keseluruhan ada enam kemungkinan. Keenam kemungkinan kedudukan itu ditentukan oleh tanda-tanda dari nilai a dan tanda-tanda dari nilai diskriminan D = b - 4ac. Keenam kemungkinan kedudukan grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax + bx + c terhadap sumbu x dapat Anda lihat kembali pada Gambar 3-8.

Berdasarkan Gambar 3-8 dapat Anda ketahui hal-hal yang merupakan keterkaitan antara persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat sebagai berikut:
Gambar 3-8a
Apabila nilai a>0 dan D<0 src="http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_64/images/kuadrat.jpg" height="11" width="7"> + bx + c = 0 tidak mempunyai akar-akar real, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka ke atas (mempunyai titik balik minimum) dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x.
Gambar 3-8b
Apabila nilai a>0 dan D=0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-akar real dan, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka ke atas (mempunyai titik balik minimum) dan menyinggung sumbu x.
Gambar 3-8c
Apabila nilai a>0 dan D>0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-akar real dan berlainan, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka ke atas (mempunyai titik balik minimum) dan memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.
Gambar 3-8d
Apabila nilai a<0 src="http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_64/images/kuadrat.jpg" height="11" width="7"> + bx + c = 0 tidak mempunyai akar-akar real, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka ke bawah (mempunyai titik balik maksimum) dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x.
Gambar 3-8e
Apabila nilai a<0 d =" 0" src="http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_64/images/kuadrat.jpg" height="11" width="7"> + bx + c = 0 mempunyai akar-akar real dan sama (kembar), sehingga grafik fungsi kuadrat y=f(x)=ax+bx+c terbuka ke bawah (mempunyai titik balik maksimum) dan menyinggung sumbu x.
Gambar 3-8f
Apabila nilai a<0>0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-akar real dan berlainan, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka ke bawah (mempunyai titik balik maksimum) dan memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.

Berdasarkan uraian di atas, maka dapat Anda ketahui bahwa terdapat keterkaitan antara persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Untuk lebih jelasnya, marilah kita perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
Contoh 1:
Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x)= x + 2x + 5 terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu!
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = x + 2x + 5, berarti a = 1, b = 2, dan c = 5.
Maka D= b - 4ac = (2) - 4(1)(5) = 4-20 = -16.
Karena a = 1 dan D = -16, ini berarti a>0 dan D<0,>

Bagaimana, mudah bukan? Sudah pahamkah Anda? Baiklah, untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contoh 2 di bawah ini.
Contoh 2:
Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x)= -x + 4x terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu!
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = -x + 4x, berarti a = -1, b = 4, dan c= 0.
Maka D = b - 4ac = (4) - 4(-1)(0) = 16-0 = 16
Karena a = -1 dan D = 16, ini berarti a<0>0, sehingga grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke bawah dan memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.

Tidak sulit bukan? Apakah Anda paham? Baiklah, agar lebih paham lagi, perhatikan contoh 3 di bawah ini.
Contoh 3:
Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = x - 8x + 16 terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu!
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = x - 8x + 16, berarti a = 1, b = -8, dan c = 16.
Maka D = b - 4ac= (-8) - 4(1)(16) = 64 - 64 = 0
Karena a = 1 dan D = 0, ini berarti a>0 dan D=0, sehingga grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas dan menyinggung sumbu x.

Nah, setelah memperhatikan beberapa contoh di atas, apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan di bawah ini.

1.	Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = 2x - x - 1 terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu!
2.	Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = -x + 6x - 9 terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu!
3.	Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = -3x - 1 terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu

Bagaimana, tidak sulit bukan? Sebelum selesai mengerjakan soal-soal di atas, Anda jangan membaca jawabannya terlebih dulu. Apabila sudah selesai mengerjakannya, cocokkanlah pekerjaan Anda dengan jawaban di bawah ini.

1.	Fungsi kuadrat f(x) = 2x - x - 1, berarti a = 2, b = -1, dan c= -1. Maka D = b - 4ac = (-1) - 4(2)(-1) = 1+8 = 9 Karena a = 2 dan D = 9, ini berarti a>0 dan D>0, sehingga grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas dan memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.
2.	Fungsi kuadrat f(x)= -x + bx - 9, berarti a = -1, b = 6, dan c = -9. Maka D = b - 4ac= (6) - 4(-1)(-9) = 36 – 36 = 0 Karena a = -1 dan D = 0, ini berarti a<0 d="0,">
3.	Fungsi kuadrat f(x) = -3x - 1, berarti a = -3, b = 0, dan c= -1. Maka D = b - 4ac = (0) - 4(-3)(-1)= 0-12 = -12. Karena a = -3 dan D = -12, ini berarti a<0>

Mudah bukan? Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas? Apabila ya, bagus! Berarti Anda benar. Apabila pekerjaan Anda belum benar, segera koreksi dan samakanlah dengan jawaban di atas. Jika mengalami kesulitan diskusikan dengan teman-teman atau tanyakan langsung kepada guru bina pada saat tatap muka. Selanjutnya bagi Anda yang menjawab benar, kerjakanlah soal-soal Tugas 3.

TUGAS 3

1.	Diketahui fungsi kuadrat f ditentukan dengan rumus f(x) = x + 6x dalam daerah asal D = {x|-7 x -1, x R} a). Salin dan lengkapilah daftar ini untuk fungsi f tersebut. x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 y … … … … … … …. …. …. b) c) Dengan menggunakan daftar yang Anda peroleh pada soal a), gambarkan sketsa grafik fungsi f Berdasarkan grafik yang Anda peroleh pada soal b), tentukan: (i). daerah hasil fungsi f. (ii). pembuat nol fungsi f. (iii). Persamaan sumbu simetri grafik fungsi f. (iv). Titik balik grafik fungsi f. (v). nilai minimum fungsi f.
2.	Diketahui fungsi kuadrat f ditentukan dengan rumus f(x) = -x + 6x - 8. a) b) c) Tentukan titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y. Tentukan koordinat titik balik dan persamaan sumbu simetri. Berdasarkan jawaban pada soal (i) dan (ii), gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat tersebut.
3.	Selidiki apakah fungsi kuadrat dengan persamaan f(x) = 2x - 2x + 1 termasuk definit positif atau definit negatif atau tidak kedua-duanya!
4.	Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = x - 14x + 49 terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu!

Sudah selesaiakah Anda mengerjakan soal-soal di atas? Tidak sulit bukan? Untuk mengetahui hasil pekerjaan Anda, cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci Tugas 3 yang tersedia di bagian akhir modul ini. Kemudian hitunglah skor Anda dengan menggunakan aturan sebagai berikut:
Untuk nomor 1:
a) jawaban benar skor = 1
b) jawaban benar skor = 2
c) jawaban benar skor = 5
Untuk nomor2 :
a) jawaban benar skor = 2
b) jawaban benar skor = 2
c) jawaban benar skor = 2
Untuk nomor 3 jawaban benar skor = 3
Untuk nomor 4 jawaban benar skor = 3

Apabila semua jawaban benar, maka skor total = 1+2+5+2+2+2+3+3 = 20. selanjutnya untuk menghitung skor akhir yang Anda peroleh, gunakan rumus yang terdapat pada halaman pendahuluan modul ini.

Jika Anda memperoleh skor 65%, berarti Anda telah berhasil menguasai materi dalam kegiatan 3. Selanjutnya Anda dapat mengikuti uji kompetensi akhir modul. Tetapi, bagi Anda yang memperoleh skor <65%,>